AUZEF Matematik Iı Çıkmış Sorular

Matematik II dersi; integral ve alan hesabı, diferansiyel ve fark denklemleri, çok değişkenli fonksiyonlar, ekstremum, iktisadi uygulamalar, diziler-seriler ile matrisler, determinantlar ve doğrusal denklem sistemlerini kapsar.

İntegral ve iktisadi uygulamalar

• Paydası doğrusal olan kesirlerde payda türevi paya denk geliyorsa sonuç ln|payda| + c biçimindedir.
• Değişken değiştirme: x·e^(x²) türü ifadelerde u = x² alınır, sonuç yarısı kadar e^(x²) olur.
• Marjinal gelirin integrali toplam geliri, marjinal maliyetin integrali sabit maliyetle birlikte toplam maliyeti verir.
• Belirli integralde önce anti türev bulunur, sonra üst sınır değerinden alt sınır değeri çıkarılır.
• ln x / x türü integrallerde u = ln x dönüşümü kullanılır.

Alan ve tüketici rantı

• Eğri ile x ekseni arasındaki alan belirli integralle bulunur; eksenin altında kalan kısım için işaret dikkate alınır.
• İki eğri arasındaki alan, kesişim noktaları bulunup üstteki fonksiyondan alttaki çıkarılarak hesaplanır.
• y = x² ile y = x arasındaki alan 1/6 olarak bulunmuştur; y = −x² ile y = x için de sonuç 1/6'dır.
• Tüketici rantı, talep eğrisi altındaki alandan ödenen toplam tutarın çıkarılmasıyla elde edilir.

Diferansiyel ve fark denklemleri

• Mertebe en yüksek türevin mertebesidir, derece ise o türevin kuvvetidir.
• Zamanın kesikli alındığı denklemlere fark denklemi denir.
• y' = ky ve y(0) başlangıç koşulu için çözüm y(0)·e^(kt) biçimindedir.
• y' + ay = b denkleminde denge değeri b/a'dır; sabit başlangıç koşulundan bulunur.
• y_t = a·y_(t−1) fark denkleminin çözümü y₀·a^t'dir.
• Değişkenlere ayırma yöntemi ve tam diferansiyel (d(ty)=0) fikri çözümde kullanılır.

Çok değişkenli fonksiyonlar ve ekstremum

• Bağımsız değişken sayısı fonksiyonun kaç değişkenli olduğunu belirler.
• Tanım kümesi: karekök içi negatif olamaz, logaritma içi pozitif olmalı, payda sıfır olamaz.
• Kısmi türevde diğer değişkenler sabit kabul edilir.
• Ekstremum adayları birinci kısmi türevlerin sıfıra eşitlenmesiyle bulunur.
• Diskriminant f_xx·f_yy − (f_xy)² pozitifse ve f_xx > 0 ise yerel minimum, f_xx < 0 ise yerel maksimum olur.
• Diskriminant negatifse nokta eyer (semer) noktasıdır.

İktisadi modeller

• Çapraz marjinal taleplerin ikisi de pozitifse ürünler ikame, negatifse tamamlayıcıdır.
• Cobb-Douglas üretim fonksiyonunda üslerin toplamı 1 ise ölçeğe göre sabit getiri vardır.
• A katsayısı teknoloji düzeyini gösterir.
• Marjinal verimlilik, üretimin ilgili girdiye göre kısmi türevidir.
• Denge, talep ve arz fiyatlarının eşitlenmesiyle bulunur.
• Marjinal tüketim eğilimi tüketim fonksiyonunda gelirin katsayısıdır; marjinal maliyet toplam maliyetin türevidir.

Diziler ve seriler

• 1'den n'ye doğal sayıların toplamı n(n+1)/2, karelerin toplamı n(n+1)(2n+1)/6 formülüyle bulunur.
• Aritmetik dizide toplam, terim sayısının yarısı ile ilk ve son terim toplamının çarpımıdır.
• Ardışık terim oranı sabitse dizi geometriktir; toplam (r^n − 1)/(r − 1) ile hesaplanır.
• Aynı dereceli pay ve payda içeren dizide limit, en yüksek kuvvetlerin katsayıları oranıdır.

Matrisler ve determinant

• Matrislerin eşitliğinde karşılıklı elemanlar eşitlenir; toplamada aynı konumdaki elemanlar toplanır.
• Çarpımda satır sütunla çarpılır; satır vektörü ile sütun vektörü çarpımı skalerdir.
• Devrik alınırken satırlar sütun olur.
• 2x2 determinant ad − bc'dir; minör bir satır ve sütun silinerek, kofaktör işaret (−1)^(i+j) eklenerek bulunur.
• 2x2 matriste ters, elemanları yer değiştirip işaret değiştirilerek determinanta bölünür.

Doğrusal denklem sistemleri

• Katsayılar matrisi yalnız bilinmeyenlerin katsayılarını, genişletilmiş matris ayrıca sabitleri içerir.
• Denklemler birbirinin katıysa sistem sonsuz çözümlüdür.
• Bilinmeyen sayısı denklem sayısına eşit olsa da tek çözüm garanti değildir.
• Bilinmeyen fazla olması çözümsüzlük anlamına gelmez; tutarlıysa sonsuz çözüm olur.
• Elementer satır işlemiyle bir eleman sıfırlanırken uygun satır uygun katla çarpılıp eklenir.

Belirsiz integral

Türevi verilen fonksiyonu veren anti türevler ailesidir, sonuna + c eklenir.

Belirli integral

Sınırlar arasında anti türev farkıyla bulunan sayısal değerdir; alan hesabında kullanılır.

Marjinal fonksiyon

Toplam fonksiyonun türevidir; birim artışın etkisini gösterir.

Fark denklemi

Zamanın kesikli değerler aldığı denklemdir.

Kısmi türev

Çok değişkenli fonksiyonun bir değişkene göre, diğerleri sabitken alınan türevidir.

Eyer noktası

Kritik nokta olup ne minimum ne maksimum olan, diskriminantı negatif noktadır.

İkame ürün

Birinin fiyat artışı diğerinin talebini artırıyorsa ürünler ikamedir.

Tamamlayıcı ürün

Birinin fiyatı artınca diğerinin talebi de düşüyorsa ürünler tamamlayıcıdır.

Geometrik dizi

Ardışık terimlerin oranı sabit olan dizidir.

Kofaktör

İşaretli minördür: (−1)^(i+j) ile minörün çarpımı.

Devrik matris

Satır ve sütunların yer değiştirmesiyle elde edilen matristir.

Genişletilmiş matris

Katsayılar matrisine sabitler sütununun eklenmesiyle oluşur.

• Mertebe (en yüksek türevin sırası) ile derece (o türevin kuvveti) karıştırılmamalıdır.
• İkame ve tamamlayıcı ürünler çapraz türevin işaretiyle ayırt edilir: pozitif ikame, negatif tamamlayıcı.
• Katsayılar matrisi ile genişletilmiş matris ayrımına dikkat edilmeli; sabitler yalnız genişletilmiş matristedir.
• Hatalı ifade sorularında 'mutlaka' ve 'bulunmaz' gibi kesin ifadeler genellikle yanlış seçeneği işaret eder.
• Alan sorularında önce kesişim noktaları bulunmalı, hangi fonksiyonun üstte olduğu kontrol edilmelidir.